Question

已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，且两条曲线都经过点.

（1）求这两条曲线的标准方程；
（2）已知点在抛物线上，且它与双曲线的左，右焦点构成的三角形的面积为4，求点 的坐标.

Answer 1

（1）,；（2）或.

解析试题分析：（1）可以先利用待定系数法可以先求抛物线方程，然后利用定义法或待定系数法求出双曲线方程;
（2）先利用三角形的面积是4，求出点p的纵坐标是，再利用点P在抛物线上，求出横坐标即可.
试题解析：（1）∵抛物线经过点，
∴，解得，
∴抛物线的标准方程为.                                 3分
∴抛物线的焦点为，∴双曲线的焦点为．
法一：∴，，
∴，．         5分
∴．
∴双曲线的标准方程为.                    8分
法二：，∵双曲线经过点，∴，      5分
解得 ，.
∴双曲线的标准方程为.                    8分
（2）设点的坐标为，由题意得，
，∴，                      11分
∵点在抛物线上，∴，∴点的坐标为或.      14分
考点：(1)双曲线的标准方程；(2)抛物线的标准方程.