Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，数列{b_n}的前n项和为S_n，T_n=S_2n-S_n．
（Ⅰ）求证：数列{

1

bn

}为等差数列，并求通项b_n；
（Ⅱ）试判断数列{T_n}的单调性，并证明．
（Ⅲ）求证：当n≥2时，S2n≥

7n+11

12

．

Answer 1

分析：（I）将两个已知等式结合得到关于数列{b_n}的项的递推关系，构造新数列，利用等差数列的通项公式求出

1

bn

，进一步求出b_n．
（II）表示出T_n，T_n+1，求出T_n+1-T_n，通过放缩法，判断出此差的符号，判断出T_n+1，T_n两者的大小，即可得到结论；
（Ⅲ）利用数学归纳法证明即可．

解答：（Ⅰ）证明：由b_n=a_n-1，得a_n=b_n+1，代入2a_n=1+a_na_n+1，
得2（b_n+1）=1+（b_n+1）（b_n+1+1），
整理，得b_nb_n+1+b_n+1-b_n=0，
从而有

1

bn+1

-

1

bn

=1，
∵b₁=a₁-1=2-1=1，
∴数列{

1

bn

}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴

1

bn

=n，∴b_n=

1

n

；
（Ⅱ）解：数列{T_n}单调递增
∵S_n=1+

1

2

+…+

1

n

，
∴T_n=S_2n-S_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
∴T_n+1=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

，
∴T_n+1-T_n=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞

1

2n+2

+

1

2n+2

-

1

n+1

=0，
∴T_n+1＞T_n，
∴数列{T_n}单调递增；
（Ⅲ）证明：①当n=2时，S22=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

=

25

12

=

7×2+11

12

，结论成立；
②设n=k时，结论成立，即1+

1

2

+…+

1

2k

≥

7k+11

12

，
则n=k+1时，S2k+1=1+

1

2

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

≥

7k+11

12

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

＞

7k+11

12

+

1

3

+

1

4

=

7(k+1)+11

12

，即n=k+1时，结论成立
∴当n≥2时，S2n≥

7n+11

12

．

点评：本题考查了数列和不等式的综合应用，考查数列的通项，考查数列的单调性，考查不等式的证明，综合性强．