Question

10．某工厂每小时可以生产x千克的产品，且生产速度不变，为了使生产的效率达到最大，要求1≤x≤10，每小时生产产品可获得的利润为100（5x+10x²-x³）元．
（1）求生产a干克该产品所获得的利润；
（2）要是生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选择何种生产速度？并求此最大利润．

Answer 1

分析 （1）生产a干克该产品，需要$\frac{a}{x}$小时，再由每小时的利润，即可得到所求；
（2）先确定生产900千克该产品获得的利润函数，然后利用配方法，可求最大利润．

解答 解：（1）生产a干克该产品，需要$\frac{a}{x}$小时，每小时获得的利润为100（5x+10x²-x³）元，
则所获得的利润为$\frac{a}{x}$•100（5x+10x²-x³）=100a（5+10x-x²）（1≤x≤10）元；
（2）设利润为y元，
∵生产900千克该产品，需要$\frac{900}{x}$小时，每小时可获得利润是100（5x+10x²-x³）元，
∴y=$\frac{900}{x}$•100（5x+10x²-x³）=90000（5+10x-x²）
=9×10⁴×[-（x-5）²+30]，（1≤x≤10），
故x=5时，y_max=2.7×10⁶元．
应选每小时生产5千克，可获得最大利润，且为2.7×10⁶元．

点评 本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查二次函数的最值，确定函数的模型是解题的关键．属于中档题．