Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，其左、右焦点分别为，，点为坐标平面内的一点，且，，为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆的左顶点，，是椭圆上两个不同的点，直线，的倾斜角分别为，，且.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标，

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析，定点.

【解析】

（1）设点坐标为，，，运用两点间的距离公式和向量数量积的坐标表示，以及椭圆的离心率公式，解方程可得，进而得到椭圆方程；

（2）设，，判断直线的斜率不存在不成立，设直线的方程为，联立椭圆方程，运用判别式大于0，以及根与系数的关系，结合直线的斜率公式，化简整理，结合直线方程和恒过定点的求法，可得结果.

解（1）设点坐标为，，

则，

由题意得

解得.∴.

又，∴

∴

∴所求椭圆的方程为：

（2）由题可知直线的斜率存在，则设直线方程为，，坐标为，

解方程组

∴

∴，

又由，∴，

设直线，斜率分别为，，则

∴

即：

∴

∴

化简得：

得：，或

当时，，过点（-2，0），不合题意（舍去）

当时，，过点，

∴直线恒过定点.