Question

16．已F₁，F₂为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左右焦点，l为其左准线，其左支上存在一点P使得|PF₁|是P到l的距离d与|PF₂|的等比中项，求双曲线的离心率的范围．

Answer 1

分析 根据双曲线的定义，结合离心率的概念，列出不等式，求出离心率的取值范围．

解答 解：设在左支上存在P点，使|PF₁|²=|PF₂|•d，
由双曲线的第二定义知$\frac{|{PF}_{1}|}{d}$=$\frac{|{PF}_{2}|}{|{PF}_{1}|}$=e，
即|PF₂|=e|PF₁|①
再由双曲线的第一定义，得|PF₂|-|PF₁|=2a．②
由①②，解得|PF₁|=$\frac{2a}{e-1}$，|PF₂|=$\frac{2ae}{e-1}$，
∵|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|，
∴$\frac{2a}{e-1}$+$\frac{2ae}{e-1}$≥2c．③
利用e=$\frac{c}{a}$，由③得e²-2e-1≤0，
解得1-$\sqrt{2}$≤e≤1+$\sqrt{2}$；
又e＞1，
∴1＜e≤1+$\sqrt{2}$；
所以，双曲线离心率的取值范围是（1，1+$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了双曲线的定义与几何性质的应用问题，解题时应利用双曲线的第一、第二定义求解，是综合性题目．