Question

8．如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，∠BAC=90°，G是△ABC的重心，过G的平面α与BC平行，AB∩α=M，AC∩α=N，则MN=$\frac{2}{3}$$\sqrt{74}$．

Answer 1

分析 利用勾股定理求出BC的长，再由BC∥平面α，得出MN∥BC，结合三角形重心的性质求出MN的值．

解答 解：如图所示，
△ABC中，AB=5，AC=7，∠BAC=90°，
∴BC=$\sqrt{{5}^{2}{+7}^{2}}$=$\sqrt{74}$；
又BC∥平面α，AB∩α=M，AC∩α=N，
∴MN∥BC；
又G是△ABC的重心，
∴$\frac{MN}{BC}$=$\frac{AG}{AD}$=$\frac{2}{3}$，
∴MN=$\frac{2}{3}$BC=$\frac{2}{3}$$\sqrt{74}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$$\sqrt{74}$．

点评 本题考查了勾股定理的应用问题，也考查了空间中的线面平行的应用问题以及三角形的重心性质的应用问题，
是基础题目．