Question

3．已知椭圆T：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{3}{5}$，过右焦点F₂且与x轴垂直的直线被椭圆T截得的线段长为$\frac{32}{5}$
（1）求椭圆T的方程；
（2）设A为椭圆T的左顶点，过F₂的动直线l交椭圆于B，C两点（与A不重合），直线AB，AC的斜率分别为k₁，k₂．求证：k₁•k₂为定值．

Answer 1

分析 （1）过右焦点F₂且与x轴垂直的直线被椭圆T截得的线段长为$\frac{32}{5}$，可得$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{32}{5}$，即$\frac{{b}^{2}}{a}=\frac{16}{5}$．联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{b}^{2}}{a}=\frac{16}{5}}\\{\frac{c}{a}=\frac{3}{5}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可．
（2）A（-5，0）．设BC的方程为my=x-3，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．与椭圆方程联立可得：（16m²+25）y²+96my-256=0．利用斜率计算公式可得：k₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+5}$，k₂=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+5}$．于是k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+8m（{y}_{1}+{y}_{2}）+64}$，把根与系数的关系代入即可得出．

解答 （1）解：∵过右焦点F₂且与x轴垂直的直线被椭圆T截得的线段长为$\frac{32}{5}$，∴$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{32}{5}$，即$\frac{{b}^{2}}{a}=\frac{16}{5}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{b}^{2}}{a}=\frac{16}{5}}\\{\frac{c}{a}=\frac{3}{5}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=5，b=4，c=3．
∴椭圆T的方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
（2）证明：A（-5，0）．
设BC的方程为my=x-3，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-3}\\{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$，化为（16m²+25）y²+96my-256=0．
∴y₁+y₂=-$\frac{96m}{16{m}^{2}+25}$，y₁y₂=$\frac{-256}{16{m}^{2}+25}$．
∵k₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+5}$，k₂=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+5}$．
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+5}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+5}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{（m{y}_{1}+8）（m{y}_{2}+8）}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+8m（{y}_{1}+{y}_{2}）+64}$=$\frac{\frac{-256}{16{m}^{2}+25}}{\frac{-256{m}^{2}}{16{m}^{2}+25}-\frac{768{m}^{2}}{16{m}^{2}+25}+64}$=$-\frac{4}{25}$为定值．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．