Question

15．（1）试证：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$（其中n是正整数）；
（2）计算：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{9×10}$；
（3）证明：对任意大于1的正整数n，有$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）可由等式的右边证到左边；
（2）运用（1）的结论，计算即可得到；
（3）运用（1）的结论，由裂项相消求和，再由不等式的性质即可得证．

解答 （1）证明：$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n+1-n}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，
即有$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$（其中n是正整数）；
（2）解：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{9×10}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$
=1-$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{10}$；
（3）证明：$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$＜$\frac{1}{2}$，
则有对任意大于1的正整数n，有$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查不等式的证明：裂项相消法，考查运算能力，属于中档题．