Question

6．f（x）=x³+ax²+bx+c在区间（1，2）上有三个零点，则（　　）

• A． f（1）f（2）≤$\frac{1}{64}$
• B． f（1）f（2）＜$\frac{1}{64}$
• C． f（1）f（2）＞-$\frac{1}{64}$
• D． f（1）f（2）≥-$\frac{1}{64}$

Answer 1

分析 设f（x）=x³+ax²+bx+c在区间（1，2）上三个零点为x₁，x₂，x₃，则f（x）=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃），表示出f（1）f（2），再利用基本不等式，即可求出结论．

解答 解：设f（x）=x³+ax²+bx+c在区间（1，2）上三个零点为x₁，x₂，x₃，则f（x）=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）
f（1）f（2）=（1-x₁）（1-x₂）（1-x₃）（2-x₁）（2-x₂）（2-x₃）
=-[（x₁-1）（2-x₁）][（x₂-1）（2-x₂）][（x₃-1）（2-x₃）]
≥-（$\frac{{x}_{1}-1+2-{x}_{2}}{2}$）²•（$\frac{{x}_{2}-1+2-{x}_{2}}{2}$）²•（$\frac{{x}_{3}-1+2-{x}_{3}}{2}$）²=-$\frac{1}{64}$，
∵三个零点互不相等，
∴f（1）f（2）＞-$\frac{1}{64}$．
故选：C．

点评 本题考查函数的零点，考查基本不等式的运用，属于中档题．