Question

16．已知正项数列{a_n}，a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n，则a_n=${2}^{{2}^{n-1}}$-1．

Answer 1

分析 由已知条件推导出数列{log₂（a_n+1）}为首项为1，公比为2的等比数列，由此能求出a_n．

解答 解：∵正项数列{a_n}，a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n，
∴a_n+1+1=a_n²+2a_n+1=（a_n+1）²，
∴$lo{g}_{2}（{a}_{n+1}+1）=lo{g}_{2}（{a}_{n}+1）^{2}$=2log₂（a_n+1）．
∴$\frac{lo{g}_{2}（{a}_{n+1}+1）}{lo{g}_{2}（{a}_{n}+1）}$=2，log₂（a₁+1）=log₂2=1
∴数列{log₂（a_n+1）}为首项为1，公比为2的等比数列．
∴$lo{g}_{2}（{a}_{n}+1）={2}^{n-1}$，
∴${a}_{n}+1={2}^{{2}^{n-1}}$，
∴${a}_{n}={2}^{{2}^{n-1}}-1$．
故答案为：${2}^{{2}^{n-1}}$-1．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．