Question

6．已知腰长为1的等腰三角形ABC中，AB⊥AC，E，F分别是边AB，AC上的动点，且AE=mAB，AF=nAC（0≤m＜1，0＜n＜1），m+n=1，设BF与CE的交点为P，则线段AP的长有（　　）

• A． 最大值$\frac{\sqrt{2}}{3}$
• B． 最小值$\frac{\sqrt{2}}{3}$
• C． 最大值1
• D． 最小值1

Answer 1

分析 取极值法，m=1，n=0，以及n=1，m=0时，交点为B或C，对应AP=1，
m=n=$\frac{1}{2}$时AP取得最小值，交点P是三角形的重心，求出即可．

解答 解：如图所示，
等腰三角形ABC中，AB⊥AC，且AB=1；
E，F分别是边AB，AC上的动点，AE=mAB，AF=nAC（0≤m＜1，0＜n＜1），m+n=1；
根据题意得，当m=n=$\frac{1}{2}$时AP取得最小值，
此时E F是各边的中点，
又因为三角形是等腰△，
所以交点P是三角形底边高上的一点，
即P是三角形3条中线的交点，P是三角形的重心，
由重心公式得AP=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的边角关系的应用问题，也考查了特殊值应用问题，是基础题目．