Question

13．证明：函数f（x）=$\sqrt{x}$在[0，+∞）上单调递增．

Answer 1

分析 根据单调性的定义，设x₁＞x₂≥0，作差证明f（x₁）＞f（x₂），这样即可得出原函数在[0，+∞）上单调递增．

解答 证：设x₁＞x₂≥0，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\sqrt{{x}_{1}}-\sqrt{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}}$；
∵x₁＞x₂≥0；
∴x₁-x₂＞0，$\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增．

点评 考查增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，分母有理化的方法．