Question

（2012•淮北二模）在△ABC中a，b，c分别为角A，B，C所对的边的边长．
（1）试叙述正弦或余弦定理并证明之；
（2）设a+b+c=1，求证：a²+b²+c²≥

1

3

．

Answer 1

分析：（1）写出正弦定理，作出三角形ABC的外接圆，设外接圆半径为R，利用圆周角定理及锐角三角函数定义即可证明；
（2）由a，b及c都大于0，利用基本不等式得到a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，三等式左边两边相加后得到一个不等式，不等式左右两边都加上a²+b²+c²，右边利用完全平方公式化简，变形后即可得证．

解答：解：（1）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C，
正弦定理为：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
证明：作出△ABC的外接圆O，连接BO并延长，与圆O交于D点，连接CD，

可得∠A=∠D，∠BCD=90°，设圆的半径为R，BC=a，AB=c，AC=b，
在Rt△BCD中，设BD=2R，
∴sinD=sinA=

BC

BD

=

a

2R

，即

a

sinA

=2R，
同理

b

sinB

=2R，

c

sinC

=2R，
则

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R；
（2）∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，
∴2（a²+b²+c²）≥2ab+2bc+2ca，又a+b+c=1，
∴3（a²+b²+c²）≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）²=1，
则a²+b²+c²≥

1

3

．

点评：此题考查了正弦定理及证明，以及基本不等式的运用，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．