Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（-2，1），$\overrightarrow{b}$=（1，2），若存在非零实数m，n使得$\overrightarrow{x}=\frac{1}{n}$$\overrightarrow{a}$+（n+1）$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{y}=m\overrightarrow{a}$+（n+4）$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{x}⊥\overrightarrow{y}$，试求$\frac{m}{n}$的取值范围．

Answer 1

分析 先写出向量$\overrightarrow{x}，\overrightarrow{y}$的坐标，根据$\overrightarrow{x}⊥\overrightarrow{y}$，有$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}=0$，这样便可得到${n}^{2}+5n+\frac{m}{n}+4=0$，从而有$\frac{m}{n}=-（n+\frac{5}{2}）^{2}+\frac{9}{4}$，在根据m．n非零，这便得出$\frac{m}{n}≤\frac{9}{4}$，且$\frac{m}{n}≠0，\frac{m}{n}≠-4$．

解答 解：$\overrightarrow{x}=\frac{1}{n}•（-2，1）+（n+1）•（1，2）$=$（n-\frac{2}{n}+1，2n+\frac{1}{n}+2）$，$\overrightarrow{y}=m•（-2，1）+（n+4）•（1，2）$=（n-2m+4，m+2n+8）；
∵$\overrightarrow{x}⊥\overrightarrow{y}$；
∴$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}=（n-\frac{2}{n}+1）（n-2m+4）$$+（2n+\frac{1}{n}+2）（m+2n+8）=0$；
∴${n}^{2}+5n+\frac{m}{n}+4=0$；
∴$\frac{m}{n}$=$-（n+\frac{5}{2}）^{2}+\frac{9}{4}$；
∴$\frac{m}{n}≤\frac{9}{4}$；
∵n，m≠0；
∴$\frac{m}{n}≠-4，\frac{m}{n}≠0$；
∴$\frac{m}{n}$的取值范围为$\{\frac{m}{n}|\frac{m}{n}≤\frac{9}{4}，且\frac{m}{n}≠-4，\frac{m}{n}≠0\}$．

点评 考查向量数乘、加法，及数量积的坐标运算，非零向量垂直的充要条件，配方求二次函数最值的方法，注意m，n都不为0．