Question

4．已知三棱锥P-ABC，C是以AB为直径的圆周上异于A、B的任一点，PA⊥平面ABC，PA=AB=2
（1）求证：BC⊥平面PAC
（2）求三棱锥P-ABC体积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据已知中PA垂直平面ABC，AB是⊙O的直径，易得PA⊥BC，BC⊥AC，我们易结合线面垂直的判定定理得到BC⊥面PAC
（2）表示出三棱锥P-ABC的体积，利用基本不等式，即可求三棱锥P-ABC体积的最大值．

解答 （1）证明：（1）∵PA⊥平面ABC，且BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，
而PA∩AC=A
∴BC⊥面PAC
（2）解：设AC=x，则BC=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•$$\sqrt{4-{x}^{2}}$•2=$\frac{1}{3}$x$\sqrt{4-{x}^{2}}$=$\frac{1}{3}$$\sqrt{{x}^{2}（4-{x}^{2}）}$≤$\frac{4}{9}$，
当且仅当x²=4-x²，取等号，
∴AC=$\sqrt{2}$时，三棱锥P-ABC体积的最大值为$\frac{4}{9}$．

点评 本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，三棱锥体积的计算，其中熟练掌握空间线面垂直的判定、性质，善于根据直角三角形、圆周角的性质，判断出直线与直线垂直是解答本题的关键．