Question

14．△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，面积为S．
（1）若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}$S，求A的值；
（2）若tanA：tanB：tanC=1：2：3，且c=1，求b．

Answer 1

分析 （1）由已知中$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}$S，可得tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，进而求出A值；
（2）设tanA=k，tanB=2k，tanC=3k，（k＞0），利用和角正切公式，可得k=1，再由正弦定理，可得答案．

解答 解：（1）∵△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，面积为S．
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cosA=bccosA=2$\sqrt{3}$S=$\sqrt{3}$bcsinA，
∴cosA=$\sqrt{3}$sinA，
∴tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵A是△ABC的内角，
∴A=30°
（2）∵tanA：tanB：tanC=1：2：3，
∴设tanA=k，tanB=2k，tanC=3k，（k＞0）
则tanC=-tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{tanAtanB-1}$，
即$3k=\frac{3k}{2{k}^{2}-1}$，
解得：k=1，
故tanB=2，tanC=3，
则sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinC=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
由正弦定理可得：$\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$，即b=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}$=$\sqrt{2}$

点评 本题考查的知识点是三角形面积公式，向量的数量积公式，两角和的正切公式，正弦定理，难度中档．