Question

3．设a∈R，n∈N^*，求和：l+a+a²+a³+…+aⁿ=$\left\{\begin{array}{l}n+1，\;\;a=1\\ \frac{{1-{a^{n+1}}}}{1-a}，\;\;a≠1.\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 分a=0、a=1、a≠0且a≠1分别求解得答案．

解答 解：当a=0时，l+a+a²+a³+…+aⁿ=0；
当a=1时，l+a+a²+a³+…+aⁿ=1+1+…+1=n+1；
当a≠0且a≠1时，l+a+a²+a³+…+aⁿ=$\frac{1-{a}^{n+1}}{1-a}$．
验证当a=0时，上式成立．
∴l+a+a²+a³+…+aⁿ=$\left\{\begin{array}{l}n+1，\;\;a=1\\ \frac{{1-{a^{n+1}}}}{1-a}，\;\;a≠1.\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}n+1，\;\;a=1\\ \frac{{1-{a^{n+1}}}}{1-a}，\;\;a≠1.\end{array}\right.$．

点评 本题考查等比数列的前n项和，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．