Question

11．在直角坐标系内，到点（1，0）和直线x=-1距离相等的点的轨迹是曲线C
（1）求曲线C的方程．
（2）曲线C的焦点为F，问：是否存在过F且不垂直于x轴的直线l，使l与曲线C交于两点P，Q，并且△POQ的面积为2$\sqrt{2}$，并说明理由（O为原点）

Answer 1

分析 （1）直接利用抛物线的定义求得抛物线方程；
（2）通过设直线l方程为：kx-y-k=0，并与抛物线方程联立，利用韦达定理、两点间距离公式及完全平方公式，可用k来表示P、Q两点间的距离，利用点到直线的距离公式可求出三角形中以PQ为底的高，进而利用三角形面积公式计算即可．

解答 解：（1）由抛物线定义知，曲线C是以（1，0）为焦点、x=-1为准线的抛物线，
∴曲线C的方程为：y²=4x；
（2）结论：存在过F的直线l：x-y-1=0或x+y-1=0满足题设条件．
理由如下：
由（1）知F（1，0），设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
设直线l方程为：kx-y-k=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{kx-y-k=0}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y、整理得：k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
∴|PQ|²=$（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}$
=（x₁-x₂）²+k²（x₁-x₂）²
=（1+k²）（x₁-x₂）²
=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]
=（1+k²）[（$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$）²-4]
=[$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$]²，
又∵原点到直线l的距离d=$\frac{|0-0-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△POQ=$\frac{1}{2}$•d•|PQ|
=$\frac{1}{2}$•$\frac{|0-0-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$
=2•$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$
=2$\sqrt{2}$，
即$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，解得：k=±1，
∴存在过F的直线l：x-y-1=0或x+y-1=0满足题设条件．

点评 本题考查了抛物线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．