Question

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=5，b=4，sin（A-B）=$\frac{3\sqrt{7}}{32}$．
（1）求sinBsinA的值；
（2）求cosC+cosA的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得 A-B∈（0，$\frac{π}{2}$），利用正弦定理求得tanB 的值，可得sinB和cosB的值，求得cosA=cos[（A-B）+B]的值，可得sinA的值，
从而求得sinBsinA的值．
（2）求得cosC=-cos（A+B）=-（cosAcosB-sinAsinB）的值，可得cosC+cosA 的值．

解答 解：（1）△ABC中，由于a=5，b=4，a＞b，∴A-B∈（0，$\frac{π}{2}$），
∵sin（A-B）=$\frac{3\sqrt{7}}{32}$，∴cos（A-B）=$\frac{31}{32}$．
由正弦定理可得$\frac{5}{sinA}$=$\frac{4}{sinB}$，
求得sinA=$\frac{5}{4}$sinB=sin[（A-B）+B]=sin（A-B）cosB+cos（A-B）sinB=$\frac{3\sqrt{7}}{32}$cosB+$\frac{31}{32}$sinB．
∴$\frac{9}{32}$sinB=$\frac{31}{32}$cosB，即3sinB=$\sqrt{7}$cosB，tanB=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，∴cosB=$\frac{3}{4}$．
cosA=cos[（A-B）+B]=cos（A-B）cosB+sin（A-B）sinB=$\frac{31}{32}•\frac{3}{4}$+$\frac{3\sqrt{7}}{32}•\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{9}{16}$，∴sinA=$\frac{5\sqrt{7}}{16}$，
故sinBsinA=$\frac{\sqrt{7}}{4}•\frac{5\sqrt{7}}{16}$=$\frac{35}{64}$．
（2）cosC=-cos（A+B）=-（cosAcosB-sinAsinB）=-（$\frac{9}{16}•\frac{3}{4}$-$\frac{5\sqrt{7}}{16}•\frac{\sqrt{7}}{4}$）=$\frac{1}{8}$，
∴cosC+cosA=$\frac{1}{8}$+$\frac{9}{16}$=$\frac{11}{16}$．

点评 本题主要考查两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，属于中档题．