Question

17．已知sinα-cosα=$\sqrt{2}$，求下列式子的值？
（1）sinαcosα=-$\frac{1}{2}$．
（2）sinα+cosα=0．
（3）sin²α+cos²α=1．
（4）sin³α+cos³α=0．
（5）sin³α-cos³α=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（6）sin⁴α+cos⁴α=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由（sinα-cosα）²=sin²α+cos²α-2sinαcosα，能求出sinαcosα．
（2）由（sinα+cosα）²=sin²α+cos²α+2sinαcosα，能求出sinα+cosα．
（3）利用定义法能求出sin²α+cos²α．
（4）由sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α），能求出结果．
（5）由sin³α-cos³α=（sinα-cosα）（sin²+sinαcosα+cos²α），能求出结果．
（6）由sin⁴α+cos⁴α=（sin²α+cos²α）²-2sin²αcos²α，能求出结果．

解答 解：（1）∵sinα-cosα=$\sqrt{2}$，
∴（sinα-cosα）²=sin²α+cos²α-2sinαcosα=2，
∴2cosαsinα=-1，
∴sinαcosα=-$\frac{1}{2}$．
（2）∵（sinα+cosα）²=sin²α+cos²α+2sinαcosα=1-1=0，
∴sinα+cosα=0．
（3）sin²α+cos²α=$\frac{{y}^{2}}{{r}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{r}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{{r}^{2}}$=$\frac{{r}^{2}}{{r}^{2}}$=1．
（4）sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）=0．
（5）sin³α-cos³α=（sinα-cosα）（sin²+sinαcosα+cos²α）=$\sqrt{2}（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（6）sin⁴α+cos⁴α=（sin²α+cos²α）²-2sin²αcos²α=1-2×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：-$\frac{1}{2}$；0；1；0；$\frac{\sqrt{2}}{2}$；$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式、完全平方公式、立方差公式、立方和公式的合理运用．