Question

5．设关于x，y的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{8x-4≥0}\\{（y-1）（3x+y-6）≤0}\end{array}\right.$表示的平面区域为D，已知点O（0，0），A（1，0），点M是D上的动点，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OM}$=λ|$\overrightarrow{OM}$|，则λ的取值范围是[$\frac{\sqrt{82}}{82}$，1]∪[-1，$-\frac{\sqrt{10}}{10}$）．

Answer 1

分析 由条件便可得到$λ=cos＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OM}＞$，从而求向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OM}$的夹角的范围便可得出λ的范围，可以找出平面区域D，结合图形即可找出向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OM}$的范围，从而得出$cos＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OM}＞$的范围，即得出λ的取值范围．

解答 解：根据条件，$|\overrightarrow{OA}|=1$，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}=|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OM}|cos＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OM}＞$=$|\overrightarrow{OM}|cos＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OM}＞=λ|\overrightarrow{OM}|$；
∴$λ=cos＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OM}＞$；
由$\left\{\begin{array}{l}{8x-4≥0}\\{（y-1）（3x+y-6）≤0}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{8x-4≥0}\\{y-1≥0}\\{3x+y-6≤0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{8x-4≥0}\\{y-1≤0}\\{3x+y-6≥0}\end{array}\right.$；
∴平面区域D如下图所示：

设直线8x-4=0和直线3x+y-6=0的交点为B（$\frac{1}{2}，\frac{9}{2}$）；
设OB的倾斜角为θ₁，直线3x+y-6=0的倾斜角为θ₂，则向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OM}$夹角的范围为[0，θ₁]∪（θ₂，π]；
$cos{θ}_{1}=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{81}{4}}}=\frac{\sqrt{82}}{82}$，tanθ₂=-3，∴$cos{θ}_{2}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$；
∴$cos＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OM}＞$$∈[\frac{\sqrt{82}}{82}，1]∪[-1，-\frac{\sqrt{10}}{10}）$；
∴λ的取值范围为[$\frac{\sqrt{82}}{82}，1$]∪[-1，$-\frac{\sqrt{10}}{10}$）．
故答案为：[$\frac{\sqrt{82}}{82}，1$]∪[-1，$-\frac{\sqrt{10}}{10}$）．

点评 考查线性规划的知识，能找出不等式组所表示的平面区域，向量数量积的计算公式，向量夹角的概念，以及数形结合解题的方法．