Question

16．已知集合A={y|y=x²，x∈R}，集合B={y|y=-x²+3x-1，x∈R}集合C为函数f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}+4x+m-7}$的定义域．
（1）求A∩B；
（2）若A∪C⊆A，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由集合A得到集合A={y|y≥0}，由集合B得到B={y|y=$-（x-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{5}{4}≤\frac{5}{4}$}，则A∩B的答案可求；
（2）由集合C为函数f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}+4x+m-7}$的定义域得到$2-\sqrt{m-3}≤x≤2+\sqrt{m-3}$，若A∪C⊆A，则$2+\sqrt{m-3}≥2-\sqrt{m-3}$，即可求出m的取值范围．

解答 解：集合A={y|y=x²，x∈R}={y|y≥0}，集合B={y|y=-x²+3x-1，x∈R}={y|y=$-（x-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{5}{4}≤\frac{5}{4}$}，
（1）A∩B={y|y≥0}∩{y|y=$-（x-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{5}{4}≤\frac{5}{4}$}={y|$0≤y≤\frac{5}{4}$}；
（2）集合C为函数f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}+4x+m-7}$的定义域，
∴-x²+4x+m-7≥0．
解得：$2-\sqrt{m-3}≤x≤2+\sqrt{m-3}$．
若A∪C⊆A，
则$2+\sqrt{m-3}≥2-\sqrt{m-3}$，
解得：m≥3．

点评 本题考查了集合的包含关系判断及应用，考查了交集及其运算，是基础题．