Question

14．当-1≤x≤a（a＞-1）时，求函数y=-x（x-a）的最大值．

Answer 1

分析 先求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的位置，得到函数的单调性，从而求出其最大值即可．

解答 解：y=-x²+ax=-（x-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$，
对称轴为：x=$\frac{a}{2}$，
有两种情况：
①当a≤0时，-1＜a＜$\frac{a}{2}$，
由于当x＜$\frac{a}{2}$时，函数在区间[-1，a]上单调递增，
所以当x=a时有最大值：y_max=-（a-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$=0；
②当a＞0时，-1＜$\frac{a}{2}$＜a，
由于函数图象开口向下，
拐点x=$\frac{a}{2}$恰好在[-1，a]区间，
故x=$\frac{a}{2}$时有最大值：
y_max=$\frac{{a}^{2}}{4}$．

点评 本题考察了二次函数的单调性、最值问题，考察分类讨论思想，是一道中档题．