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已知抛物线C:y2=4x,过点A(x0,0)(其中x0为常数,且x0>0)作直线l交抛物线于P,Q(点P在第一象限);
(1)设点Q关于x轴的对称点为D,直线DP交x轴于点B,求证:B为定点;
(2)若x0=1,M1,M2,M3为抛物线C上的三点,且△M1M2M3的重心为A,求线段M2M3所在直线的斜率的取值范围.
(1)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),则D(x2,-y2),直线PD的方程为y-y1=
y1+y2
x1-x2
(x-x1)

令y=0,x=
x2y1+x1y2
y1+y2
=
y22
4
•y1+
y12
4
y2
y1+y2
=
y1y2
4

设l:y=k(x-x0),代入抛物线方程,得到ky2-4y-4kx0=0,∴y1y2=-4x0
∴x=x0,即B(x0,0)为定点;
(2)A(1,0),设lM1M2:y=kx+m,M1(x1′,y1′),M2(x2′,y2′),M3(x3′,y3′),M2M3中点E(xE′,yE′),
lM1M2:y=kx+m代入抛物线方程,可得k2x2+(2km-4)x+m2=0,
∴x1′+x2′=
4-2km
k2

∴y1′+y2′=
4
k

∴E(
2-km
k2
2
k
),
∵2
EF
=
FM1
,∴M1(3-
4-2km
k2
,-
4
k
),
∵M1在抛物线y2=4x上,
16
k2
=4(3-
4-2km
k2
)

∴3k2+2km=8,
又△>0得16-16km>0,∴km<1,
∴2km=8-3k2<2,
∴k2>2,
k>
2
k<-
2
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本题满分14分)设直线. 若直线l与曲线S同时满足下列两个条件:①直线l与曲线S相切且至少有两个切点;②对任意xR都有. 则称直线l为曲线S的“上夹线”.(Ⅰ)已知函数.求证:为曲线的“上夹线”.
(Ⅱ)观察下图:
          
根据上图,试推测曲线的“上夹线”的方程,并给出证明.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在平面直角坐标系xOy中,动点P到两点(-
3
,0),(
3
,0)的距离之和等于4,设点P的轨迹为曲线C,直线l过点E(-1,0)且与曲线C交于A,B两点.
(1)求曲线C的轨迹方程;
(2)若AB中点横坐标为-
1
2
,求直线AB的方程;
(3)是否存在△AOB面积的最大值,若存在,求出△AOB的面积;若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,椭圆Q:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的右焦点F(c,0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A、B两点,P是线段AB的中点.
(1)求点P的轨迹H的方程.
(2)在Q的方程中,令a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0<q≤
π
2
),确定q的值,使原点距椭圆的右准线l最远,此时,设l与x轴交点为D,当直线m绕点F转动到什么位置时,三角形ABD的面积最大?

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知双曲线C:x2-y2=1,l:y=kx+1
(1)求直线L的斜率的取值范围,使L与C分别有一个交点,两个交点,没有交点.
(2)若Q(1,1),试判断以Q为中点的弦是否存在,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,A(-1,0),B(1,0),过曲线C1:y=x2-1(|x|≥1)上一点M的切线l,与曲线C2:y=-
m(1-x2)
(|x|<1)
也相切于点N,记点M的横坐标为t(t>1).
(1)用t表示m的值和点N的坐标;
(2)当实数m取何值时,∠MAB=∠NAB?并求此时MN所在直线的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C:x2+
y2
m
=1
的焦点在y轴上,且离心率为
3
2
.过点M(0,3)的直线l与椭圆C相交于两点A、B.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P为椭圆上一点,且满足
OA
+
OB
OP
(O为坐标原点),当|
PA
|-|
PB
|<
3
时,求实数λ的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)过点(2,0),且离心率为
3
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点N(
2
,0)且斜率为
6
3
的直线l与椭圆C交于A,B两点,求证:
OA
OB
=0.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0)、B(1,0),动点C满足条件:△ABC的周长为2+2
2
.记动点C的轨迹为曲线W.
(Ⅰ)求W的方程;
(Ⅱ)经过点(0,
2
)且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q,求k的取值范围;
(Ⅲ)已知点M(
2
,0
),N(0,1),在(Ⅱ)的条件下,是否存在常数k,使得向量
OP
+
OQ
MN
共线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.

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