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在平面直角坐标系xOy中,动点P到两点(-
3
,0),(
3
,0)的距离之和等于4,设点P的轨迹为曲线C,直线l过点E(-1,0)且与曲线C交于A,B两点.
(1)求曲线C的轨迹方程;
(2)若AB中点横坐标为-
1
2
,求直线AB的方程;
(3)是否存在△AOB面积的最大值,若存在,求出△AOB的面积;若不存在,说明理由.
(1)由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(-
3
,0),(
3
,0)为焦点,长半轴长为2的椭圆.
故曲线C的方程为
x2
4
+y2=1

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点横坐标为y,则
x12
4
+y12=1
x22
4
+y22=1

两方程相减可得
(x1+x2)(x1-x2)
4
+(y1+y2)(y1-y2)=0

∵直线l过点E(-1,0)且与曲线C交于A,B两点,AB中点横坐标为-
1
2

-(x1-x2)
4
+2y(y1-y2)=0

-1
4
+2y•
y
-
1
2
+1
=0

y=±
1
4

∴直线AB的斜率为k=±
1
2

∴直线AB的方程为y=±
1
2
(x+1);
(3)存在△AOB面积的最大值.
因为直线l过点E(-1,0),可设直线l的方程为x=my-1.
代入椭圆方程整理得(m2+4)y2-2my-3=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),解得y1=
m+2
m2+3
m2+4
y2=
m-2
m2+3
m2+4

则|y2-y1|=
4
m2+3
m2+4

∴S△AOB=
1
2
|OE||y2-y1|
=
2
m2+3
m2+4

设t=
m2+3
(t
3
),则g(t)=
2
t+
1
t

∵y=t+
1
t
在区间[
3
,+∞)上为增函数.
t+
1
t
4
3
3

S△AOB
3
2
,当且仅当m=0时取等号,
∴S△AOB的最大值为
3
2
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1
2
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x2
4
+
y2
3
=1
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QP
QF
=
FP
FQ

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FA
FB
<0
?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.

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