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如图,设抛物线C1:y2=4mx(m>0)的准线与x轴交于F1,焦点为F2;以F1,F2为焦点,离心率e=
1
2
的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的交点为P,延长PF2交抛物线于点Q,M是抛物线C1上一动点,且M在P与Q之间运动.
(1)当m=1时,求椭圆C2的方程;
(2)当△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数时,求△MPQ面积的最大值.
(1)当m=1时,y2=4x,则F1(-1,0),F2(1,0)
设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),则c=1,又e=
c
a
=
1
2
,所以a=2,b2=3
所以椭圆C2方程为
x2
4
+
y2
3
=1(4分)
(2)因为c=m,e=
c
a
=
1
2
,则a=2m,b2=3m2
设椭圆方程为
x2
4m2
+
y2
3m2
=1

x2
4m2
+
y2
3m2
=1
y2=4mx
,得3x2+16mx-12m2=0(6分)
即(x+6m)(3x-2m)=0,得xP=
2m
3
代入抛物线方程得yP=
2
6
3
m,
即P(
2m
3
2
6
m
3

|PF2|=xP+m=
5m
3
,|PF1|=2a-|PF2|=4m-
5m
3
=
7m
3
,|F1F2|=2m=
6m
3

因为△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数,所以m=3(8分)
此时抛物线方程为y2=12x,P(2,2
6
),直线PQ方程为:y=-2
6
(x-3).
联立
y=-2
6
(x-3)
y2=12x
,得2x2-13x+18=0,即(x-2)(2x-9)=0,
所以xQ=
9
2
,代入抛物线方程得yQ=-3
6
,即Q(
9
2
,-3
6

∴|PQ|=
(2-
9
2
)
2
+(2
6
+3
6
)
2
=
25
2

设M(
t2
12
,t)到直线PQ的距离为d,t∈(-3
6
,2
6

则d=
|
6
6
t2+t-6
6
|
24+1
=
6
30
|(t+
6
2
2-
75
2
|(10分)
当t=-
6
2
时,dmax=
6
30
75
2
=
5
6
4

即△MPQ面积的最大值为
1
2
×
25
2
×
5
6
4
=
125
6
16
.(12分)
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②y=x2-|x|;
③y=3sinx+4cosx;
|x|+1=
4-y2

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3
,0),(
3
,0)的距离之和等于4,设点P的轨迹为曲线C,直线l过点E(-1,0)且与曲线C交于A,B两点.
(1)求曲线C的轨迹方程;
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1
2
,求直线AB的方程;
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椭圆
x2
2
+y2=1的弦被点(
1
2
1
2
)平分,则这条弦所在的直线方程是______.

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x2
a2
+
y2
b2
=1
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(1)求点P的轨迹H的方程.
(2)在Q的方程中,令a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0<q≤
π
2
),确定q的值,使原点距椭圆的右准线l最远,此时,设l与x轴交点为D,当直线m绕点F转动到什么位置时,三角形ABD的面积最大?

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m(1-x2)
(|x|<1)
也相切于点N,记点M的横坐标为t(t>1).
(1)用t表示m的值和点N的坐标;
(2)当实数m取何值时,∠MAB=∠NAB?并求此时MN所在直线的方程.

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已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点为F1,F2,且离心率为
3
2

(1)若过F1的直线交椭圆E于P,Q两点,且
PF1
=3
F1Q
,求直线PQ的斜率;
(2)若椭圆E过点(0,1),且过F1作两条互相垂直的直线,它们分别交椭圆E于A,C和B,D,求四边形ABCD面积的最大值和最小值.

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