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如图,椭圆Q:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的右焦点F(c,0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A、B两点,P是线段AB的中点.
(1)求点P的轨迹H的方程.
(2)在Q的方程中,令a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0<q≤
π
2
),确定q的值,使原点距椭圆的右准线l最远,此时,设l与x轴交点为D,当直线m绕点F转动到什么位置时,三角形ABD的面积最大?
如图,(1)设椭圆Q:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)
上的点A(x1,y1)、B(x2,y2),又设P点坐标为P(x,y),
b2
x21
+a2
y21
=a2b2(1)
b2
x22
+a2
y22
=a2b2(2)

1°当AB不垂直x轴时,x1¹x2
由(1)-(2)得
b2(x1-x2)2x+a2(y1-y2)2y=0
y1-y2
x1-x2
=-
b2x
a2y
=
y
x-c

∴b2x2+a2y2-b2cx=0(3)
2°当AB垂直于x轴时,点P即为点F,满足方程(3)
故所求点P的轨迹方程为:b2x2+a2y2-b2cx=0

(2)因为,椭圆Q右准线l方程是x=
a2
c
,原点距l的距离为
a2
c

由于c2=a2-b2,a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0<q≤
π
2

a2
c
=
1+cosq+sinq
1+cosq
=2sin(
q
2
+
π
4

当q=
π
2
时,上式达到最大值.
此时a2=2,b2=1,c=1,D(2,0),|DF|=1
设椭圆Q:
x2
2
+y2=1
上的点A(x1,y1)、B(x2,y2),三角形ABD的面积
S=
1
2
|y1|+
1
2
|y2|=
1
2
|y1-y2|
设直线m的方程为x=ky+1,代入
x2
2
+y2=1
中,得(2+k2)y2+2ky-1=0
由韦达定理得y1+y2=-
2k
2+k2
,y1y2=-
1
2+k2

4S2=(y1-y22=(y1+y22-4y1y2=
8(k2+1)
(k2+2)2

令t=k2+131,
得4S2=
8t
(t+1)2
=
8
t+
1
t
+2
8
4
=2

当t=1,k=0时取等号.
因此,当直线m绕点F转到垂直x轴位置时,三角形ABD的面积最大.
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(I)求的值;
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1
2
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已知椭圆C:
x2
4
+
y2
3
=1
的左焦点为F,过F点的直线l交椭圆于A,B两点,P为线段AB的中点,当△PFO的面积最大时,求直线l的方程.

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椭圆C:
x2
9
+
y2
4
=1
,斜率为k的直线l与椭圆相交于点M,N,点A是线段MN的中点,直线OA(O为坐标原点)的斜率是k′,那么kk′=______.

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已知平面直角坐标系xoy中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为F(-
3
,0)
,右顶点为D(2,0),设点A(1,
1
2
).
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若P是椭圆上的动点,求线段PA的中点M的轨迹方程;
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如图,双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a,b>0)的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,切点分别为A,B,C,D.则:
(Ⅰ)双曲线的离心率e=______;
(Ⅱ)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值
S1
S2
=______.

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