Question

如图，四棱锥C-ABDE中，△ABC为正三角形，AE⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，M为DC上一点，BD=BC=2AE=2．
（Ⅰ）求证：AE∥平面BCD；
（Ⅱ）当EM⊥BD时，求二面角M-AB-C的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据AE⊥平面ABC，BD⊥平面ABC得到AE∥BD，进而得到结论；
（Ⅱ）先在平面BCD中过点M做MN⊥BC，垂足为N，则有MN⊥平面ABC，MN∥BD；再过N做NG⊥AB于G，连接MG则MG⊥AB，可得∠MGN为二面角M-AB-C的一个平面角；最后通过求出三角形的边长即可求出结论．

解答：解：（Ⅰ）证明：
∵AE⊥平面ABC，BD⊥平面ABC
∴AE∥BD而AE?平面BCDBD?平面BCD
∴AE∥平面BCD…（5分）
（Ⅱ）∵BD⊥平面ABC
∴平面BCD⊥平面ABC
在平面BCD中过点M做MN⊥BC，垂足为N，则有MN⊥平面ABC，MN∥BD，
∴∠EMN=

π

2

且MN∥AE
过N做NG⊥AB于G，连接MG则MG⊥AB，所以∠MGN为二面角M-AB-C的一个平面角                      …（7分）
在四边形AEMN中
∵∠EAN=∠ANM=∠NME=

π

2

∴四边形AEMN为矩形
∴MN=AE=1
∴M为CD的中点，N为BC的中点          …（10分）
在Rt△MNG中，MN=1，NG=BN•sin∠ABC=

3

2

∴tan∠MGN=

MN

NG

=

1

3 2

=

2 3

3

…（12分）

点评：本题主要考察直线与平面平行的判定以及二面角的平面角及求法．解决二面角的平面角问题的关键在于做出二面角的平面角．