Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4

3

，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°．
（Ⅰ）求二面角A-PB-C的大小；
（Ⅱ）计算点A到面PBC的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AD的中点E，过E作AB的平行线交BC于F，再过P作PO垂直于面ABCD，以O为原点，过O平行于EA的直线为x轴，OF所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．从而可用坐标表示点，进而可得向量

AB

，

PA

，

CB

，

PB

的坐标，分别求出平面PAB的法向量

n1

，平面PBC的法向量

n2

，利用向量的夹角θ的余弦cosθ=

n1 • n2

| n 1|•| n2 |

，可求二面角A-PB-C的大小．
（Ⅱ）利用点A到平面PBC的距离d=

|PA • n2 |

| n2 |

求解即可．

解答：解：（Ⅰ）取AD的中点E，过E作AB的平行线交BC于F，再过P作PO垂直于面ABCD，易知PO交EF于O，则以O为原点，过O平行于EA的直线为x轴，OF所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．由已知AE=2

3

，PE=6，∠PEO=60°，得PO=3

3

，OE=3
∴A(2

3

，-3，0)，B(2

3

，5，0)，C(-2

3

，5，0)，P(0，0，3

3

)
∴

AB

=(0，8，0)，

PA

=(2

3

，-3，-3

3

)，

CB

=(4

3

，0，0)，

PB

=(2

3

，5，-3

3

)
设平面PAB的法向量为

n1

=(x，y，z)，则有

n1 • AB =0 n1 • PA =0

，即

y=0 2 3 x-3 3 z=0

令z=1，得

n1

=(

3

2

，0，1)
设面PBC的法向量为

n2

=（m，n，1），则有

n2 • CB =0 n2 • PB =0

，即

4 3 m=0 2 3 m+5n-3 3 =0

∴

n2

=(0，

3

5

3

，1)
∴

n1

，

n2

的夹角θ的余弦cosθ=

n1 • n2

| n 1|•| n2 |

=

5

13

则根据图形可知，所求二面角A-PB-C为钝二面角，故大小为π-arccos

5

13

．
（Ⅱ）点A到平面PBC的距离d=

|PA • n2 |

| n2 |

=

12 39

13

点评：本题以四棱锥为载体，考查面面角，考查点面距离，构建空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，点面距离公式求解时解题的关键