Question

直角三角形ABC中，CA=CB=

2

，M为AB的中点，将△ABC沿CM折叠，使A、B之间的距离为1，则三棱锥M-ABC外接球的体积为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离,球

分析：由已知中得三棱锥M-ABC的底面为边长为1的等边三角形，且MC与底面MAB垂直，故其外接球可转化为以MAB为底面，以MC为高的正三棱柱的外接球，求出球半径后，代入球体积公式，可得答案．

解答： 解：∵Rt△ABC中CA=CB=

2

，
∴AB=2，
又∵M为AB的中点，
∴MA=MB=MC=1，
故对折后三棱锥M-ABC的底面为边长为1的等边三角形，
如下图所示：

其外接球可化为以MAB为底面，以MC为高的正三棱柱的外接球，
设三棱锥M-ABC外接球的球心为O，
则球心到MAB的距离d=

1

2

MC=

1

2

，
平面MAB的外接圆半径r=

3

3

，
故三棱锥M-ABC外接球的半径R=

d2+r2

=

1 4 + 1 3

=

7 12

，
则外接球的体积为V=

4

3

πR³=

4

3

π(

7 12

)3=

7 21 π

54

故答案为：

7 21 π

54

．

点评：本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键．