Question

已知，点满足，记点的轨迹为.

（Ⅰ）求轨迹的方程；（Ⅱ）若直线过点且与轨迹交于、两点. （i）设点，问：是否存在实数，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.（ii）过、作直线的垂线、，垂足分别为、，记

，求的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）

解析:

（Ⅰ）由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线右支，由，∴，故轨迹E的方程为…………3分

（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消得，设、，

∴，    解得 ……………5分

（i）∵

   

……………………7分

假设存在实数，使得，

故得对任意的恒成立，

    ∴，解得    ∴当时，.

    当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立，

    综上，存在，使得. …………………………………………8分

 （ii）∵，∴直线是双曲线的右准线，…………………………9分

    由双曲线定义得：，，

    方法一：∴

                 …………………………………………10分

    ∵，∴，∴………………………………………11分

    注意到直线的斜率不存在时，，综上， …………………12分

    方法二：设直线的倾斜角为，由于直线

与双曲线右支有二个交点，∴，过

作，垂足为，则，          

∴ …（10分）

    由，得  故： …（12分）