Question

设抛物线y²=4px（p＞0）的准线与x轴的交点为M，过点M作直线l交抛物线于A，B两点．若直线l的斜率依次取p，p²，…，pⁿ时，线段AB的垂直平分线与对称轴的交点依次为N₁，N₂，…，N_n，当0＜p＜1时，求S=

1

|N1N2|

+

1

|N2N3|

+…+

1

NnNn+1

+…的值．

Answer 1

分析：根据题意，设直线l的方程为y=pⁿ（x+p），与抛物线方程联解算出AB的中点坐标为（p(

2

p2n

-1)，

2p

pn

），从而得到AB中垂直方程，然后在此方程中令y=0，得到得当斜率kn=pn时N_n的横坐标为(

2

p2n

+1)p．由此代入算出

1

|NnNn+1|

关于p的表达式，证出{

1

NnNn+1

}成公比为p²＜1的等比数列，利用无穷递缩等比数列的求和公式即可算出S的值．

解答：解：∵抛物线y²=4px（p＞0）准线为x=-p
∴M（-p，0），可得直线l的方程为y=pⁿ（x+p）
与抛物线y²=4px消去x，得y²-

4p

pn

y+4p²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
可得y₁+y₂=

4p

pn

，y₁y₂=4p²，所以x₁+x₂=

1

4p

（y₁²+y₂²）=p(

4

p2n

-2)
∴线段AB的中点坐标为（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），即（p(

2

p2n

-1)，

2p

pn

）
因此，线段AB的垂直平分线为y-

2p

pn

=

-1

pn

[x-p(

2

p2n

-1)]
令y=0，得x_n=(

2

p2n

+1)p，得当斜率kn=pn时，Nn((

2

p2n

+1)p，0)．
因此，|N_nN_n+1|=|x_n+1-x_n|=|(

2

p2n+2

+1)p-(

2

p2n

+1)p|=

2(1-p2)

p2n+1

(0＜p＜1)，
所以

1

|NnNn+1|

=

p2n+1

2(1-p2)

=

p3

2(1-p2)

•(p2)n-1，
所以{

1

NnNn+1

}是以

p3

2(1-p2)

为首项，以p²为公比的等比数列，且0＜p²＜1，
故S=

1

|N1N2|

+

1

|N2N3|

+…+

1

NnNn+1

+…=

p3 2(1-p2)

1-p2

=

p3

2(1-p2)2

．

点评：本题着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率与等比数列的通项与求和公式等知识，属于中档题．本题综合了几何与代数中的主干知识，是一道不错的综合题型．