Question

设抛物线y²=4px（p＞0）的准线与x轴的交点为M，过点M作直线l交抛物线于A，B两点．
（1）求线段AB中点的轨迹方程；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于N（x₀，0），求证：x₀＞3p；
（3）若直线l的斜率依次取p，p²，…，pⁿ时，线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N₁，N₂，…，N_n，当时0＜p＜1，求Sn-1=

1

|N1N2|

+

1

|N2N3|

+…+

1

|Nn-1Nn|

(n≥2，n∈N*)的值．

Answer 1

分析：（1）设出l的方程代入y²=4px，确定k的范围，利用韦达定理，确定线段AB的中点坐标，消参，即可求得AB中点的轨迹方程；
（2）求出线段AB的垂直平分线方程，令y=0，得x0=(

2

k2

+1)p，从而可得结论；
（3）确定{

1

|Nn-1Nn|

}是以

p3

2(1-p2)

为首项，以p²为公比的等比数列，且0＜p²＜1，即可求得结论．

解答：（1）解：抛物线的准线为x=-p，∴M（-p，0），
设l：y=k（x+p）（k≠0），代入y²=4px得k²x²+2（k²-2）px+k²p²=0
由△=4（k²-2）²p²-4k⁴p²＞0得-1＜k＜1（k≠0）
设线段AB的中点为Q（x，y），则x=

x1+x2

2

=(

2

k2

-1)p，y=k(x+p)=

2p

k

消去k，得y²=2p（x+p）（x＞p），即为所求AB中点的轨迹方程；          （4分）
（2）证明：线段AB的垂直平分线方程为y-

2p

k

=-

1

k

[x-(

2

k2

-1)p]．
令y=0，得x0=(

2

k2

+1)p，∵0＜k²＜1，∴x₀＞3p；           （8分）
（3）解：当斜率kn=pn时，N((

2

p2n

+1)p，0)，
∵|Nn-1Nn|=|xn-xn-1|=|(

2

p2n

+1)p-(

2

p2n-2

+1)p|=

2(1-p2)

p2n-1

(0＜p＜1)，
∴

1

|Nn-1Nn|

=

p2n-1

2(1-p2)

=

p

2(1-p2)

(p2)n-1，
∴{

1

|Nn-1Nn|

}是以

p3

2(1-p2)

为首项，以p²为公比的等比数列，且0＜p²＜1
故Sn=

p3(1-p2n-2)

2(1-p2)2

．（12分）

点评：本题考查轨迹方程，考查等比数列的证明与求和，确定数列的通项是关键．