Question

已知二次函数f（x）=x²+ax+a+2，x∈[0，1]，
（1）求函数的最小值g（a）．
（2）当g（a）=2时，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数f（x）=x²+ax+a+2的图象，按-

a

2

≤0、0＜-

a

2

＜1和-

a

2

≥1三种情况，分别根据函数的单调性加以讨论，可得各种情况下函数的最小值，最后综合可得函数的最小值g（a）的表达式．
（2）在（1）的结论下，分别解关于a的方程g（a）=2，将解出的a值与大前提加以比较，即可得到当g（a）=2时，只有a=2符合题意．

解答：解：（1）∵二次函数f（x）=x²+ax+a+2的图象是开口向上的抛物线，
关于直线x=-

a

2

对称
．∴当-

a

2

≤0时，即a≥0时，函数在[0，1]上是增函数，
此时函数的最小值g（a）=f（0）=a+2；
当0＜-

a

2

＜1时，即-2＜a＜0时，函数的最小值g（a）=f（-

a

2

）=-

a2

4

+a+2；
当-

a

2

≥1时，即a≤-2时，函数在[0，1]上是减函数，
此时函数的最小值g（a）=f（1）=2a+3
综上所述，可得 g（a）=

2a+3  (a≤-2) - a2 4 +a+2    (-2＜x＜0) a+2        (a≥0)

（2）由（1），得
①当a≤-2时，2a+3=2，解之得a=-

1

2

，不符合题意
②当-2＜a＜0时，-

a2

4

+a+2=2，解之得a=0或4，不符合题意
③当a≥0时，a+2=2，解之得a=0
综上所述，当g（a）=2时，求a的值为0．

点评：本题求二次函数在闭区间上的最小值，并解关于a的方程．着重考查了二次函数的图象与性质、函数的单调性与最值求法等知识，属于中档题．