Question

10．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n =2ⁿ⁺¹+2p（n∈N^*）．
（1）求p的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足$\frac{{a}_{n+1}}{2}$=（3+p）${\;}^{{a}_{n}{b}_{n}}$．求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过S_n =2ⁿ⁺¹+2p可知a₁=4+2p、a₂=4、a₃=8，利用${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$可知p=-1，进而可知首项、公比，计算即得结论；
（2）通过（1）可知$\frac{{a}_{n+1}}{2}$=（3+p）${\;}^{{a}_{n}{b}_{n}}$可化简为2ⁿ=${2}^{{a}_{n}{b}_{n}}$，进而可知b_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵S_n =2ⁿ⁺¹+2p，
∴a₁=4+2p，a₂=S₂-S₁=4，a₃=S₃-S₂=8，
又∵数列{a_n}为等比数列，
∴${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$，即16=32+16p，
解得：p=-1，
∴a₁=4+2p=4-2=2，公比q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{8}{4}$=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ；
（2）由（1）可知p=-1，$\frac{{a}_{n+1}}{2}$=2ⁿ，
∵$\frac{{a}_{n+1}}{2}$=（3+p）${\;}^{{a}_{n}{b}_{n}}$，
∴2ⁿ=${2}^{{a}_{n}{b}_{n}}$，
∴n=a_nb_n，
∴b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴T_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．