Question

【题目】已知抛物线C：=2px（p>0）的准线方程为x=-,F为抛物线的焦点

（I）求抛物线C的方程；

（II）若P是抛物线C上一点，点A的坐标为（,2）,求的最小值；

（III）若过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于M，N两点，求线段MN的中点坐标。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（II）4（III）线段MN中点的坐标为（）

【解析】

（I）由准线方程求得，可得抛物线标准方程．

（II）把转化为到准线的距离，可得三点共线时得所求最小值．

（III）写出直线方程，代入抛物线方程后用韦达定理可得中点坐标．

（I）∵准线方程x=-,得=1，

∴抛物线C的方程为

（II）过点P作准线的垂线，垂直为B，则=

要使+的最小，则P，A，B三点共线

此时+=+=4·

（III）直线MN的方程为y=x-·

设M（），N（），把y=x-代入抛物线方程,得-3x+=0

∵△=9-4×1×＝8＞0

∴+=3，=

线段MN中点的横坐标为，纵坐标为

线段MN中点的坐标为（）