Question

已知函数y=

3

x-

1

x

的图象为中心是坐标原点O的双曲线，在此双曲线的两支上分别取点P，Q，则线段PQ的最小值为

2

3

-2

．

Answer 1

分析：先找出两条渐近线，一条为x=0，一条为y=

3

x，由此可知此双曲线的对称轴方程，求出此对称轴与双曲线的交点，即可求出最小距离．

解答：解：函数y=

3

x-

1

x

的导数为y′=

3

+

1

x2

＞

3

，所以函数的渐近线方程为：x=0与y=

3

x，
两条渐近线的角的平分线与x轴所成的倾斜角为-15°，其方程为：y=tan（-15°）x=（

3

-2）x，
它与函数y=

3

x-

1

x

的交点为：（

2

2

，-

2 ( 3 -2)

2

），（-

2

2

，

2 ( 3 -2)

2

），
PQ两点的最短距离为：2

3

-2．
故答案为：2

3

-2．

点评：本题考查双曲线的基本性质，利用函数的导数求出函数的斜率范围，推出双曲线的渐近线，求出双曲线的对称轴方程是解题的关键．