Question

已知=（c，0）（c＞0），=（n，n）（n∈R），||的最小值为1，若动点P同时满足下列三个条件：
①||=||（a＞c＞0）；
②=λ （其中=（，t），λ≠0，t∈R）；
③动点P的轨迹C经过点B（0，-1）．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求曲线C的方程；
（Ⅲ）是否存在方向向量为a=（1，k）（k≠0）的直线l，使l与曲线C交于两个不同的点M、N，且||=||？若存在，求出k的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）：由向量模的公式得出||==，利用二次函数的性质得出其最小值，从而求得c值．
（Ⅱ）先根据条件得到：||=||（a＞c＞0）．从而得出点P在以F为焦点，x=为准线的椭圆上，从而=|-x|，最后将点B（0-1）代入，解得a即可写出曲线C的方程；
（Ⅲ）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在方向向量为a=（1，k）（k≠0）的直线l满足条件，则可设l：y=kx+m（k≠0），再利用△ABC为正三角形，求出CD的长，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
假设存在方向向量为a=（1，k）（k≠0）的直线l满足条件，则可设l：y=kx+m（k≠0），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系结合垂直关系即可求得k的范围，从而解决问题．
解答：解：（Ⅰ）：||==，
当n=时，||_min==1，所以c=．（3分）
（Ⅱ）∵=λ （λ≠0），∴PE⊥直线x=，又||=||（a＞c＞0）．
∴点P在以F为焦点，x=为准线的椭圆上．（5分）
设P（x，y），则有=|-x|，点B（0-1）代入，解得a=．
∴曲线C的方程为 +y²=1                                       （7分）
（Ⅲ）假设存在方向向量为a=（1，k）（k≠0）的直线l满足条件，则可设l：y=kx+m（k≠0），
与椭圆+y²=1联立，消去y得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0．（10分）
由判别式△＞0，可得m²＜3k²+1．①
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点P（x，y），由|BM|=|BN|，则有BP⊥MN．
由韦达定理代入k_BP=-，可得到m=               ②
联立①②，可得到  k²-1＜0，（12分）
∵k≠0，∴-1＜k＜0或0＜k1．
即存在k∈（-1，0）∪（0，1），使l与曲线C交于两个不同的点M、N，且||=||．（14分）z
点评：本小题主要考查向量在几何中的应用、直线与圆锥曲线的综合问题，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．