Question

5．函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^3}-3x+1，x≥0\\{x^2}-2x-4，x＜0\end{array}\right.$的零点个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 当x≥0时，f（x）=x³-3x+1，利用函数零点的判定定理可得函数有2个零点；当x＜0时，f（x）=x²-2x-4，利用函数零点的判定定理可得函数有1个零点，综合可得结论．

解答 解：∵函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^3}-3x+1，x≥0\\{x^2}-2x-4，x＜0\end{array}\right.$，
当x≥0时，f（x）=x³-3x+1，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，求得x=1，在[0，1）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
在（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∵f（0）•f（1）=1•（-1）=-1＜0，故函数f（x）在（0，1）有唯一零点．
∵f（1）•f（2）=（-1）•3=-3＜0，
故函数f（x）在（1，2）有唯一零点，故函数f（x）在（1，+∞）有唯一零点．
当x＜0时，f（x）=x²-2x-4，它的图象的对称轴为直线x=1，
故函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，
∵f（0）=-4，f（-2）=4，f（0）•f（-2）=-16＜0，
故函数f（x）在（-2，0）有唯一零点，故函数f（x）在（-∞，0）有唯一零点．
综上可得，f（x）在R上零点的个数为3，
故选：C．

点评 本题主要考查函数零点的判定定理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．