Question

【题目】已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．直线l的参数方程是 （t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ= sin（ ）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于M、N两点，求M、N两点间的距离．

Answer 1

【答案】
（1）解：将曲线C的极坐标方程化为ρ= sin（ ）=cosθ+sinθ

两边都乘以ρ，得ρ2=ρcosθ+ρsinθ

因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y 2

代入上式，得方求曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣x﹣y=0

（2）解：直线l的参数方程是 （t为参数），消去参数t得普通方程：4x﹣3y+1=0，将圆C的极坐标方程化为普通方程为：x2+y2﹣x﹣y=0，

所以（ ）为圆心，半径等于

所以，圆心C到直线l的距离d=

所以直线l被圆C截得的弦长为：|MN|=2 = ．

即M、N两点间的距离为

【解析】（1）利用直角坐标与极坐标间的关系，将曲线C的极坐标方程：ρ=2 sin（θ+ ）化成直角坐标方程：x2+y2﹣x﹣y=0，问题得以解决；（2）先将直线l的参数方程化成普通方程：4x﹣3y+1=0，由（1）得曲线C是以（ ）为圆心，半径等于 的圆，结合点到直线的距离公式及圆的几何性质，可求得M、N两点间的距离．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线的参数方程的相关知识，掌握经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）．