Question

(08年龙岩一中冲刺理)（12分）

已知双曲线的两个焦点为，，为动点，若，为定值（其中>1），的最小值为.

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设点，过点作直线交轨迹于，两点，判断的大小是否为定值？并证明你的结论.

Answer 1

解析：（Ⅰ）依题意点的轨迹为以双曲线的两个焦点为焦点，且长轴为的椭圆。设椭圆方程为（）            ………………1分

由双曲线方程，得双曲线两个焦点为（-1，0），（1，0），设，,，，

由余弦定理得………3分

又 ，当时取“=”，即

∴  ，得    ∴ 

∴  动点轨迹方程为                         ………………6分

（Ⅱ）当轴时，直线的方程为，代入解得、的坐标分别为、   而，∴，

猜测为定值。                            ………………………7分

证明：设直线的方程为，

由  ，得

∴ ，             ………………9分

∴

         

         

         

         

∴ 为定值.                          ………………………12分