Question

12．已知数列{a_n}为1，3，7，15，31，…，2ⁿ-1，数列{b_n}满足b₁=1，b_n=a_n-a_n-1，则数列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n-1项和S_n-1为2-2^2-n（n≥2）．

Answer 1

分析 a_n=2ⁿ-1．数列{b_n}满足b₁=1，n≥2时b_n=a_n-a_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2^n-1，（n=1时也成立）．可得b_n=2^n-1．利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：a_n=2ⁿ-1．
数列{b_n}满足b₁=1，n≥2时b_n=a_n-a_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2^n-1，（n=1时也成立）．
∴b_n=2^n-1．
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
∴数列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n-1项和S_n-1=1+$\frac{1}{2}×$$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n-2}}{1-\frac{1}{2}}$=2-2^2-n（n≥2）．
故答案为：2-2^2-n（n≥2）．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．