Question

9．设x＞0，y＞0，x+y=4，则$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值为1．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$≥（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）×$\frac{x+y}{4}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{x}{4y}$+$\frac{y}{4x}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵x＞0，y＞0，x+y=4，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$≥（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）×$\frac{x+y}{4}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+2xy}{4xy}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{x}{4y}$+$\frac{y}{4x}$≥$\frac{1}{2}$+2$\sqrt{\frac{x}{4y}•\frac{y}{4x}}$=1，
当且仅当$\frac{x}{4y}$=$\frac{y}{4x}$即x=y=2时取等号，
故答案为：1

点评 本题考查基本不等式求最值，属基础题．