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已知椭圆的方程为,双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点,而的左、右顶点分别是的左、右焦点。
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点,且L与的两个焦点A和B满足(其中O为原点),求的取值范围。
(1);(2)

试题分析:(1)有椭圆方程中读出其长轴长,焦距长,根据题意得出双曲线的长轴长,和焦距长,即可求出双曲线方程。(2)因为直线l与两曲线均有两个不同交点,故联立方程后整理出的一元二次方程均有两根,即判别式均大于0,再根据向量数量积公式列出关于K 的不等式,三个不等式取交集。
试题解析:(1)设双曲线的方程为,由椭圆的方程知,其长轴长为4,焦距长为,则由题意知双曲线,所以,故的方程为
(2)将代入,整理得,由直线与椭圆恒有两个不同的交点得
代入,整理得,由直线与双曲线恒有两个不同的交点得,解得


解此不等式得
       ③
由①、②、③得
故k的取值范围为
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆的左、右焦点分别为,椭圆上的点满足,且△的面积为
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的左、右顶点分别为,过点的动直线与椭圆相交于两点,直线与直线的交点为,证明:点总在直线上.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆的一个焦点为,过点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为为椭圆上的四个点。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若,求四边形的面积的最大值和最小值.

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(本小题满分12分)已知的两顶点坐标,圆的内切圆,在边上的切点分别为(从圆外一点到圆的两条切线段长相等),动点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程;
(2)设直线与曲线的另一交点为,当点在以线段为直径的圆上时,求直线的方程.

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某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域)”,其中是过抛物线焦点的两条弦,且其焦点,点轴上一点,记,其中为锐角.

(1)求抛物线方程;
(2)如果使“蝴蝶形图案”的面积最小,求的大小?

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已知圆锥曲线的两个焦点坐标是,且离心率为
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)设曲线表示曲线轴左边部分,若直线与曲线相交于两点,求的取值范围;
(Ⅲ)在条件(Ⅱ)下,如果,且曲线上存在点,使,求的值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知抛物线的焦点为F,过F的直线交抛物线于M、N两点,其准线与x轴交于K点.

(1)求证:KF平分∠MKN;
(2)O为坐标原点,直线MO、NO分别交准线于点P、Q,求的最小值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知点是常数),且动点轴的距离比到点的距离小.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)(i)已知点,若曲线上存在不同两点满足,求实数的取值范围;
(ii)当时,抛物线上是否存在异于的点,使得经过三点的圆和抛物线在点处有相同的切线,若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆经过点,椭圆的离心率.

(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两直线与椭圆分别交于相异两点.若的平分线与轴平行, 试探究直线的斜率是否为定值?若是, 请给予证明;若不是, 请说明理由.

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