Question

(本小题满分12分)已知抛物线方程为

（1）若点在抛物线上，求抛物线的焦点的坐标和准线的方程；

（2）在（1）的条件下，若过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，点在抛物线的准线上，直线、、的斜率分别记为、、，

求证：、、成等差数列；

 

Answer 1

【答案】

（1）抛物线的焦点坐标为，准线的方程为；（2）证明：见解析。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据（2，2在抛物线y²=2px（p＞0）上，可得p=2，从而可求抛物线的焦点坐标与准线l的方程；

（Ⅱ）过焦点F（1，0）且倾斜角为60°的直线m的方程为y=（x-1）与抛物线方程联立，可得点A、B的坐标，设点M的坐标为M（-1，t），即可证得k_MA、k_MF、k_MB成等差数列．

解：（1）   ∵在抛物线上，  由   得……………2分

∴抛物线的焦点坐标为，          ……………3分

准线的方程为                ……………4分

（2）证明：∵抛物线的方程为，

∴过焦点且倾斜角为的直线的方程为…………5分

由可得 

解得点A、B的坐标为，……………7分

∵抛物线的准线方程为，设点M的坐标为，……………8分

则，，，…………9分

由……………11分

知、、成等差数列。               ……………12分

考点：本试题主要考查了直线与圆锥曲线的综合应用能力，涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．

点评：解决该试题的关键是熟练利用抛物线的性质，得到其方程，同时结合设而不求的思想，来表示出点的坐标关系式，结合斜率给弄个是得到证明。