Question

若函数f（x）=ax³+bx²+cx+d是奇函数，且当x=-

3

3

时，f（x）取得极小值-

2 3

9

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g(x)=

f(x)

x2

，若不等式g(x)＞-

k

2

-1在（0，2k）上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数是奇函数，得出b，d的值，再求出函数的导数，根据在x=-

3

3

处的有极值得出在x=1处的导数为0，求出a，c的值；
（2）问题等价于g(x)min＞-

k

2

-1，利用导数可求，进而转化为解不等式．

解答：解：（1）由题意b=d=0，f′（x）=3ax²+c，又当x=-

3

3

时，f（x）取得极小值-

2 3

9

，
∴

a+c=0 - 3 9 a- 3 3 c=- 2 3 9

，∴a=-1，c=1，∴f（x）=x-x³；
（2）g(x)=

1

x2

-x，从而函数在（0，2k）为单调减函数，所以

1

4k2

-2k＞-

k

2

-1，∴k∈（0，1]

点评：该题考查函数的求导，考查函数的奇偶性对应的函数求项的系数，利用单调性求函数的最值，从而解决恒成立问题．