Question

（2010•马鞍山模拟）已知数列{a_n}的前三项与数列{b_n}的前三项对应相同，且对任意的n∈N^*，都有：a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=8n成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n+1-b_n}是等差数列，求{b_n}的通项公式；
（3）问是否存在k（k＞3，k∈N），使得

1

2k

(

bk

ak

-1)＜

1

16

．若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）当n=1时，a₁=8，当n≥2时a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=8n与原等式作差得2^n-1a_n=8即a_n=2^4-n，验证首项，可得通项公式；
（2）根据数列{a_n}的前三项与数列{b_n}的前三项对应相同，求出{b_n}的前三项，得到{b_n+1-b_n}是以-4为首项，2为公差的等差数列，然后利用累加法可得{b_n}的通项公式；
（3）假设存在k（k＞3，k∈N），使得

1

2k

(

bk

ak

-1)＜

1

16

，从而b_k-a_k＜1，而当k≥4时，f(k)=bk-ak=k2-7k+14-24-k=(k-

7

2

)2+

7

4

-24-k为单调递增函数，则f（k）≥f（4）=1这与b_k-a_k＜1矛盾，故适合题意的自然数k不存在．

解答：解：（1）当n=1，a₁=8
当n≥2时a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=8n①
a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-2a_n-1=8（n-1）②
①-②⇒2^n-1a_n=8⇒a_n=2^4-n（对n=1也成立）
故a_n=2^4-n…（4分）
（2）依题b₁=8，b₂=4，b₃=2．
∴{b_n+1-b_n}是以-4为首项，2为公差的等差数列．
∴b_n+1-b_n=2n-6
由累加法可得b_n=n²-7n+14…（8分）
（3）假设存在k（k＞3，k∈N），使得

1

2k

(

bk

ak

-1)＜

1

16

即

16

2k

(

bk

ak

-1)＜1⇒

16

2k

(

bk-ak

ak

)＜1⇒24-k

bk-ak

24-k

＜1，即b_k-a_k＜1…（10分）
而当k≥4时，f(k)=bk-ak=k2-7k+14-24-k=(k-

7

2

)2+

7

4

-24-k为单调递增函数，…（12分）
∴f（k）≥f（4）=1这与b_k-a_k＜1矛盾．故适合题意的自然数k不存在．…（14分）

点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及递推关系和累积法的运用，同时考查了计算能力，属于中档题．