Question

在直角坐标系xOy中，动点P到两点（0，-

3

），（0，

3

）的距离之和等于4，设动点P的轨迹为曲线C．
（1）写出曲线C的方程；
（2）若直线y=x+m与曲线C有交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由椭圆定义可判断曲线C为椭圆，且a=2，c=

3

，根据a，b，c的关系，可求出b的值，进而得到椭圆方程．
（2）若直线y=x+m与曲线C有交点，则联立椭圆与直线y=x+m的方程，得到的方程组必有解，消去y，得到关于x的一元二次方程中△≥0，就可求出m的范围．

解答：解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，-

3

），（0，

3

）为焦点，长半轴长为2的椭圆．
∴它的短半轴b=1
∴曲线C的方程为x2+

y2

4

=1．
（2）联立方程组

x2+ y2 4 =1 y=x+m

，
消去y得5x²+2mx+m²-4=0
因为曲线C与直线y=x+m有交点，所以△=4m²-20（m²-4）≥0
化简得m²-5≤0
解得-

5

≤m≤

5

所以m的取值范围为[-

5

，

5

]

点评：本题主要考察了定义法求椭圆方程，以及直线与椭圆相交位置关系的判断．