Question

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥面ABCD已知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．
（1）设E是DC的中点，求证：D₁E∥平面A₁BD；
（2）求二面角A₁-BD-C₁的余弦值．
（3）求点C到面A₁BD的距离．

Answer 1

分析：（1）连接BE，由已知中DC=2AD=2AB，AD⊥DC，我们易得四边形DABE为正方形，进而可证得四边形A₁D₁EB为平行四边形，则D₁E∥A₁B，由线面平行的判定定理，可得D₁E∥平面A₁BD；
（2）以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设DA=1，求出平面A₁BD的一个法向量和平面C₁BD的一个法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角A₁-BD-C₁的余弦值．
（3）由（2）中的平面A₁BD的一个法向量，代入点到平面距离公式d=

| CB • n |

| n |

，即可求出点C到面A₁BD的距离．

解答：证明：（1）连接BE，则四边形DABE为正方形，
∴BE=AD=A₁D₁，且BE∥AD∥A₁D₁，
∴四边形A₁D₁EB为平行四边形，∴D₁E∥A₁B．
∵D₁E?平面A₁BD，A₁B?平面A₁BD，∴D₁E∥平面A₁BD．
解：（2）以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设DA=1，
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C₁（0，2，2），A₁（1，0，2）．
∴

DA1

=(1，0，2)，

DB

=(1，1，0)．
设

n

=(x，y，z)为平面A₁BD的一个法向量，
由

n

⊥

DA1

，

n

⊥

DB

得

x+2y=0 x+y=0

，取z=1，则

n

=(-2，-2，1)．
设

m

=(x1，y1，z1)为平面C₁BD的一个法向量，
由

m

⊥

DC

，

m

⊥

DB

得

2y1+2z1=0 x1+y1=0

，取z₁=1，则

m

=(1，-1，1).cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

-3

9 • 3

=-

3

3

．
由于该二面角A₁-BD-C₁为锐角，所以所求的二面角A₁-BD-C₁的余弦值为

3

3

．
（3）∵C（0，2，0），∴

CB

=(1，-1，0)．
∴点C到面A₁BD的距离d=

| CB • n |

| n |

=

|-2-2|

4+4+1

=

4

3

．

点评：本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，直线与平面平行的判定，点到平面之间的距离，其中（1）的关键是证得D₁E∥A₁B，（2）、（3）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题及点到平面的距离转化为用向量法解答．