Question

16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=$\frac{tanA}{cosB}$+$\frac{tanB}{cosA}$．
（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由切化弦公式$tanA=\frac{sinA}{cosA}，tanB=\frac{sinB}{cosB}$，带入$2（tanA+tanB）=\frac{tanA}{cosB}+\frac{tanB}{cosA}$并整理可得2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB，这样根据两角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC，从而根据正弦定理便可得出a+b=2c；
（Ⅱ）根据a+b=2c，两边平方便可得出a²+b²+2ab=4c²，从而得出a²+b²=4c²-2ab，并由不等式a²+b²≥2ab得出c²≥ab，也就得到了$\frac{{c}^{2}}{ab}≥1$，这样由余弦定理便可得出$cosC=\frac{3{c}^{2}}{2ab}-1$，从而得出cosC的范围，进而便可得出cosC的最小值．

解答 解：（Ⅰ）证明：由$2（tanA+tanB）=\frac{tanA}{cosB}+\frac{tanB}{cosA}$得：
$2（\frac{sinA}{cosA}+\frac{sinB}{cosB}）=\frac{sinA}{cosAcosB}+\frac{sinB}{cosAcosB}$；
∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；
∴2sin（A+B）=sinA+sinB；
即sinA+sinB=2sinC（1）；
根据正弦定理，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$；
∴$sinA=\frac{a}{2R}，sinB=\frac{b}{2R}，sinC=\frac{c}{2R}$，带入（1）得：$\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}=\frac{2c}{2R}$；
∴a+b=2c；
（Ⅱ）a+b=2c；
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=4c²；
∴a²+b²=4c²-2ab，且4c²≥4ab，当且仅当a=b时取等号；
又a，b＞0；
∴$\frac{{c}^{2}}{ab}≥1$；
∴由余弦定理，$cosC=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{3{c}^{2}-2ab}{2ab}=\frac{3}{2}•\frac{{c}^{2}}{ab}-1$$≥\frac{1}{2}$；
∴cosC的最小值为$\frac{1}{2}$．

点评 考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为π，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式a²+b²≥2ab的应用，不等式的性质．